La réponse simple
On écrit « cet après-midi » avec un trait d’union.
Pourquoi n’écrit-on pas « cet après midi » ?
Parce que le nom composé « après-midi » s’écrit toujours avec un trait d’union.
Exemple : La réunion a lieu cet après-midi dans la salle du 3e étage.
La forme seule « après midi », sans trait d’union, composée de la préposition après et du mot midi, exprime la temporalité, avec la notion d’horaire = après l’heure de midi. Il s’agit d’un complément circonstanciel de temps.
Exemples :
Essaie de passer après midi car je suis en rendez-vous toute la matinée.
Je ne serai disponible qu’après midi. Retrouvons-nous directement au restaurant à midi trente.
[cta-main]
Quand écrit-on « cet après-midi » ?
Le mot « après-midi » peut être masculin ou féminin. Il est invariable : un après-midi, une après-midi, des après-midi.
Il désigne la partie du jour comprise entre midi (dès après l’heure de midi) et le soir.
Selon la phrase, « cet après-midi » peut être employé comme sujet du verbe, complément d’objet (CO), complément de nom ou complément circonstanciel de temps (CCT).
Exemples :
Il a fait beau cet après-midi. (CCT)
Il a trouvé cet après-midi de lecture très apaisant. (CO)
Cet après-midi consacré au rangement a été épuisant. (sujet)
Le souvenir de cet après-midi en famille est très émouvant. (complément du nom)
Exemples d’utilisation de « cet après-midi »
Cet après-midi, je n’ai fait que dormir. (CCT)
Je dois absolument terminer ce dossier cet après-midi. (CCT)
Peux-tu passer m’aider cet après-midi ? (CCT)
Il a apprécié cet après-midi de repos. (CO)
Allongé dans son hamac, il savoure cet après-midi ensoleillé. (CO)
J’aime cet après-midi en ta compagnie. (CO)
Elle a profité pleinement de cet après-midi avec sa fille. (CO)
Cet après-midi est pluvieux. (sujet)
Cet après-midi en votre compagnie me ravit. (sujet)
La perspective de cet après-midi de détente me motive à terminer rapidement mon travail. (complément de nom)
Synonymes et alternatives à « cet après-midi »
cet aprem (familier)
Comment ne plus faire cette erreur ?
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Le mot signalé en erreur « après midi » figure bien dans le dictionnaire de MerciApp, mais avec un trait d’union au lieu d’une espace (*).

